Versión 1.0 - julio de 2005
Tenemos dos partículas 1 y 2 con masas
m1 y m2 y velocidades
iniciales v1 y v2 , una
positiva y otra negativa, puesto que van al encuentro. Las
velocidades finales las indicamos con prima.
Vamos a obtener la relación entre las velocidades. Para ello
escribimos la conservación de la cantidad de movimiento y de
la energía cinética:
m1 v1
+ m2 v2 =
m1 v'1 +
m2v'2
m1v12 +
m2v22 =
m1v'12 +
m2 v'22
Agrupando:
m1
(v1 - v'1) =
m2 (v'2 -
v2 )
1
m1(v12 -
v'12 )
= m2(v'22
- v22)
2
Dividiendo la ecuación 2 entre la 1, obtenemos:
v1 +
v'1 = v'2 +
v2
y reordenando obtenemos la relación entre
velocidades:
v1 -
v2 = - (v'1 -
v'2)
que nos dice que la velocidad relativa se invierte tras el
choque.
Ahora, para obtener las velocidades finales en función de
las iniciales, tenemos que usar la ecuación de la
conservación del momento lineal y la ecuación de la
conservación de la energía cinética. Sin embargo
es más sencillo si en vez de usar la ecuación de la
conservación de la energía cinética usamos la
relación entre las velocidades. Así:
m1v1
+ m2 v2 =
m1 v'1 +
m2 v'
v1 - v2 = -
(v'1 - v'2)
y operando obtenemos la solución para el caso
general:
v'1 =
((m1
-m2)/(m1 +
m2)) v1 +
(2m2/ (m1 +
m2))v2
v'2
=(2m1/(m1
+m2)) v1 +
((m2 -m1)/
(m1 + m2))
v2
Ahora limitamos la solución al caso que nos interesa, que
es m1 >> m2 ,luego
la partícula 1 es el planeta y la 2 la nave. Y la
solución nos queda:
v'1
=v1
v'2 = 2 v1 -
v2
Dijimos antes que v1 y v2 tienen signos opuestos, luego nave invierte su sentido (término -v2) y gana en velocidad el doble de la velocidad del planeta (término 2 v1)
